Operazioni aritmetiche: moltiplicazione e divisione

Moltiplicazione

Viene indicata con il simbolo $xx$ (per) e la sua espressione generica è:

$AxxB=C$

dove $A$, $B$ e $C$ sono numeri qualsiasi. I numeri $A$ e $B$ sono denominati fattori, e più specificatamente il numero $A$ è detto moltiplicando e il numero $B$ moltiplicatore, mentre il risultato $C$ è detto prodotto. La moltiplicazione, per quanto riguarda i numeri naturali positivi (cioè 1, 2, 3, ..., eccetera), è definita in base all'addizione:

$AxxB=A+A+A+ ... +A$

dove l'operazione di addizione a destra del simbolo $=$ è ripetuta $B-1$ volte. In altri termini, se moltiplico un numero $A$ per $B$ allora il risultato è $A$ addizionato con sé stesso per $B$ volte. Per esempio:

5 x 3 = 5 + 5 + 5

A destra dell'eguaglianza il numero 5 appare tre volte ed il simbolo + due volte. Ecco alcune proprietà importanti della moltiplicazione:

I )    $A+1=1+A$

La prima proprietà dice che il numero uno è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, ovvero moltiplicando per 1 qualsiasi numero $A$ il risultato è sempre quel numero, cioè $A$ stesso.

La seconda proprietà è quella associativa:

II )    $(AxxB)xxC=Axx(BxxC)$

La terza proprietà è quella commutativa:

III )    $AxxB=BxxA$

Una quarta proprietà coinvolge anche l'addizione ed è detta proprietà distributiva:

IV )    $(A+B)xxC=(AxxC)+(BxxC)$

cioè si dice che la moltiplicazione è distributiva (a destra) rispetto all'addizione. Grazie alla sua proprietà commutativa, non ci vuol molto a verificare che la moltiplicazione è distributiva anche a sinistra rispetto all'addizione:

IV' )    $Axx(B+C)=(AxxB)+(AxxC)$

N.B. Le parentesi tonde nel secondo membro dell'eguaglianza potrebbero tranquillamente essere omesse (cfr. le precedenze fra gli operatori).

Altri simboli per la moltiplicazione

Non sempre per indicare la moltiplicazione viene utilizzato il simbolo $xx$. Altri due simboli molto utilizzati sono il punto:

$A*B=C$

e l'asterisco:

$A**B=C

Quest'ultimo è adoperato specialmente nei programmi per computer, in particolare nei linguaggi di programmazione e nei fogli di calcolo elettronici. Per esigenze di sintesi, nei testi di matematica (non elementare) addirittura non viene usato alcun simbolo:

$AB=C$

in modo da abbreviare le espressioni zeppe di moltiplicazioni.

Divisione

Viene indicata con il simbolo $-:$ (diviso) e la sua espressione generica è:

$A-:B=C$

dove $A$, $B$ e $C$ sono numeri qualsiasi, non importa se naturali, reali o d'altro tipo, con l'unica condizione che $B$ sia diverso da zero. Infatti non è consentito dividere per zero. Il numero $A$ è detto dividendo, il numero $B$ divisore e il numero $C$, che è il risultato dell'operazione, quoziente. La divisione viene definita in base alla moltiplicazione:

$A-:B=C iff BxxC=A$

che si legge "$A$ diviso per $B$ è uguale a $C$ se e solo se $B$ moltiplicato per $C$ è uguale ad $A$", con l'ovvia condizione che $B$ sia diverso da zero.

Esaminiamo le proprietà della divisione:

I )    $A-:1=A$

La prima proprietà dice che il numero uno è elemento neutro a destra rispetto alla divisione, ovvero dividendo per 1 qualsiasi numero $A$ il risultato è sempre quel numero, cioè $A$ stesso.

La seconda proprietà è quella distributiva a destra rispetto all'addizione:

II )    $(A+B)-:C=(A-:C)+(B-:C)$

N.B. Le parentesi tonde nel secondo membro dell'eguaglianza potrebbero tranquillamente essere omesse (cfr. le precedenze fra gli operatori).

Per esempio:

(10 + 6) ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 = 5 + 3 = (10 ÷ 2) + (6 ÷ 2)

La divisione non gode invece delle proprietà commutativa, associativa e distributiva a sinistra rispetto all'addizione, come si può verificare con qualche facile controesempio (con il simbolo $!=$ s'intende “diverso” o “non uguale”):

Non commutativa: $10-:2 != 2-:10$ (infatti $5 != 0,2$)
     
Non associativa: $(8-:4)-:2 != 8-:(4-:2)$ (infatti $1 != 4$)
     
Non distributiva a sinistra: $12-:(2+1) != (12-:2)+(12-:1)$ (infatti $4 != 18$)

Altri simboli per la divisione

A seconda dei contesti, per la divisione sono utilizzati anche altri simboli oltre a $-:$ In effetti, altri due simboli molto utilizzati sono i due punti:

$A:B=C$

e la barra (in inglese denominata slash):

$A//B=C$

Quest'ultimo simbolo è molto adoperato nel mondo dei computer. Da notare che non dev'essere confuso con un simbolo molto simile, cioè la barra rovesciata \ (in inglese detta back slash).

Numeri pari e dispari

Grazie alla moltiplicazione ed alla divisione, diventa possibile suddividere i numeri naturali in due gruppi: i numeri pari e quelli dispari.

Numeri pari - Un numero naturale $A$ si dice pari se esiste un numero naturale B tale che $A=2xxB$.

Numeri dispari - Un numero naturale $A$ è detto dispari se non è pari.

 

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